cho B(2;3) và đường thẳng \(\left(\Delta\right)\) :2x-y+3=0.Tìm tọa độ điểm A đối xứng của B qua đường thẳng \(\left(\Delta\right)\).
Cho điểm \(A\left(1;0;0\right)\) và đường thẳng \(\Delta:\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=1+2t\\z=t\end{matrix}\right.\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng \(\Delta\) ?
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng \(\Delta\) ?
a) Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương →uu→(1 ; 2 ; 1). H ∈ ∆ nên H(2 + t ; 1 + 2t ; t).
Điểm H ∈ ∆ là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ khi và chỉ khi −−→AHAH→ ⊥ →uu→.
Ta có −−→AHAH→(1+t ; 1 + 2t ; t) nên:
−−→AHAH→ ⊥ →uu→ ⇔ →u.−−→AHu→.AH→ = 0.
⇔ 1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0
⇔ 6t + 3 = 0 ⇔ t = −12−12.
⇔ H(32;0;−12)H(32;0;−12).
b) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua ∆ và H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆ thì H là trung điểm của AA'; vì vậy tọa độ của H là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của A và A'.
Gọi A'(x ; y ; z) ta có:
x+12=32x+12=32 => x = 2; y = 0; z = -1.
Vậy A'(2 ; 0 ; -1).
Trong mpOxy cho A(3;0) và đường thẳng \(\left(\Delta\right):\frac{x=2+t}{y=3+2t}\)
a) Tìm điểm B đối xứng của A qua \(\left(\Delta\right)\)
b) viết phương trình đường thẳng delta' là đối xứng của \(\left(\Delta\right)\) qua A
\(\left\{{}\begin{matrix}t=x-2\\t=\frac{y-3}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x-2=\frac{y-3}{2}\Leftrightarrow2x-y-1=0\)
Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc \(\Delta\Rightarrow\) d nhận \(\left(1;2\right)\) là 1 vtpt
Phương trình d: \(1\left(x-3\right)+2y=0\Leftrightarrow x+2y-3=0\)
Gọi C là giao điểm d và \(\Delta\Rightarrow\) tọa độ C thỏa: \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y-1=0\\x+2y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(1;1\right)\)
B đối xứng A qua \(\Delta\Leftrightarrow C\) là trung điểm AB
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_C-x_A=-1\\y_B=2y_C-y_A=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-1;2\right)\)
\(\Delta'\) đối xứng \(\Delta\) qua A \(\Rightarrow\Delta'//\Delta\) và đi qua B
\(\Rightarrow\Delta'\) nhận \(\left(2;-1\right)\) là 1 vtpt và qua B
Pt \(\Delta'\): \(2\left(x+1\right)-1\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow2x-y+4=0\)
Cho điểm \(M\left(2;-1;1\right)\) và đường thẳng \(\Delta:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{2}\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng \(\Delta\)
b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua đường thẳng \(\Delta\)
Cho đường thẳng \(\left(\Delta\right)\left(m-3\right)x-\left(m-2\right)y+m-1=0\)
a/ Chứng tỏ \(\left(\Delta\right)\)luôn đi qua điểm cố định A, tìm tọa độ điểm A.
b/Tìm m để
-Đường thẳng song song với Ox
-Đường thẳng song song với Oy
-Đường thẳng song song với \(x-y=0\)
a. Gọi \(A\left(x_0;y_o\right)\) là điểm cố định mà \(\Delta\)đi qua
Ta có phương trinh hoành độ giao điểm \(\left(m-3\right)x_o-\left(m-2\right)y_0+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow mx_0-my_0+m-\left(3x_0-2y_0+1\right)=0\Leftrightarrow m\left(x_0-y_0+1\right)-\left(3x_0-2y_0+1\right)=0\)
Vì đẳng thức đúng với mọi m nên \(\hept{\begin{cases}x_0-y_0+1=0\\3x_0-2y_0-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_0=3\\y_0=4\end{cases}\Rightarrow}A\left(3;4\right)}\)
Vậy \(\Delta\)luôn đi qua điểm \(A\left(3;4\right)\)cố định
b. Ta có \(\left(m-2\right)y=\left(m-3\right)x+m-1\)
Để \(\Delta\)song song với Ox thì \(\hept{\begin{cases}m-2\ne0\\m-3=0\end{cases}\Rightarrow m=3}\)
Để \(\Delta\)song song với Oy thì \(\hept{\begin{cases}m-2=0\\m-3\ne0\end{cases}\Rightarrow m=2}\)
Để \(\Delta\)song song với đt \(y=x\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}m-2=1\\m-3=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=3\\m=4\end{cases}\left(l\right)}}\)
Vậy không tồn tại m để \(\Delta\)song song với đt \(y=x\)
Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm \(A\left(-1;2\right);B\left(-2;3\right)\) và có tâm trên đường thẳng \(\Delta:3x-y+10=0\)
a) Tìm tọa độ tâm của (C)
b) Tính bán kính R của (C)
c) Viết phương trình của (C)
cho đường thẳng \(\left(\Delta\right)=\left\{{}\begin{matrix}x=-2+2t\\y=1+t\end{matrix}\right.\) và điểm A (4;1)
a) tìm tọa độ hình chiếu của A xuống ( \(\Delta\) )
b) Tìm điểm A' đối xứng của A qua \(\left(\Delta\right)\)
Cho đường thẳng \(\Delta:x-y+2=0\) và hai điểm \(O\left(0;0\right);A\left(2;0\right)\)
a) Tìm điểm đối xứng của O qua \(\Delta\)
b) Tìm điểm M trên \(\Delta\) sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất
+câu a:+ gọi d là đường thẳng qua O vuông góc với \(\Delta\): pt d :x+y+m=0 , O(00) \(\in d\Rightarrow m=0\). vậy pt d :x+y =0
+giao điểm H của d và \(\Delta\) thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}x-y+2=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\Rightarrow H\left(-1;1\right)\)
+goi O' la diem doi xung voi O qua d \(\Rightarrow\)H là trung điểm OO'
\(\Rightarrow O'\left(-2;2\right)\)
câu b : goi M (a;b) \(\in\Delta\Rightarrow M\left(a;a+2\right)\)
+ O' doi xung O qua \(\Delta\) nen MO = MO'.
+ OM+MA=O'M+MA\(\ge OA\) dấu bằng xảy ra khi O',M,A thang hang \(\Leftrightarrow\overrightarrow{O'M}\)cùng phương với \(\overrightarrow{O'A}\)
+ \(\overrightarrow{O'M}=\left(a+2;a\right);\overrightarrow{O'A}=\left(4;-2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+2}{4}=\dfrac{a}{-2}\Rightarrow a=\dfrac{-2}{3}\Rightarrow M\left(\dfrac{-2}{3};\dfrac{4}{3}\right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n {\rm{ }} = \left( {a;{\rm{ }}b} \right)\). Chứng minh rằng điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc \(\Delta \) khi và chỉ khi:
\(a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\)
Ta có: \(\overrightarrow {AM} = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\)
\( M \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} \bot \overrightarrow n \)
Hay \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0\) (ĐPCM).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của cạnh CD và đường thẳng BN có phương trình là \(13x-10y+13=0\), điểm \(M\left(-1;2\right)\) thuộc đoạn thẳng AC sao cho AC=4AM. Gọi H là điểm đối xứng với N qua C. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng 2AC=2AB và điểm H thuộc đường thẳng \(\Delta:2x-3y=0\)
\(d\left(A\left(P\right)\right)=\frac{\left|2\left(-2\right)-2.1+1.5-1\right|}{\sqrt{2^2+\left(-2\right)^2+1^2}}=\frac{2}{3}\)
(P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n_p}=\left(2;-2;1\right);\)
d có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{u_d}=\left(2;3;1\right);\left[\overrightarrow{n_p},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(-5;0;10\right)\)
Theo giả thiết suy ra (Q) nhận \(\overrightarrow{n}=-\frac{1}{5}\left[\overrightarrow{n_p},\overrightarrow{u_d}\right]=\left(1;0;-2\right)\) làm vectơ pháp tuyến
Suy ra \(\left(Q\right):x-2z+12=0\)